Discounted­-Cash-Flow (DCF) Methode berechnen

DCF-Verfahren basieren entweder auf dem Gleichgewichtsmodell von Modigliani und Miller (1958), oder auf dem Capital-Asset-Pricing-Modell (Sharpe, 1964; Lintner, 1965; Mossin, 1966).

Das Gleichgewichts­modell von Modigliani-Miller

Gemäß des Gleichgewichtsmodells von Modigliani und Miller (1958) können Anleger auf einem Kapitalmarkt in Aktien und Anleihen von Unternehmen investieren. Die Erwartungen der Anleger über den Erwartungswert, das Risiko der Ausschüttungen der Unternehmen und eines risikolosen Zinses sind identisch.

Der Wert eines Unternehmens ergibt sich aus den abgezinsten Ausschüttungen und Anleihen. Ausschüttungen werden mithilfe der Eigenkapitalkosten und das Fremdkapital mithilfe der Fremdkapitalkosten abgezinst.

• Die Gesamtkapitalkosten bleiben immer gleich und damit auch der Unternehmenswert (Wertadditivität).
• Die Fremdkapitalkosten in dem Gleichgewichtsmodell von Modigliani und Miller sind durch den risikofreien Zins bestimmt.
• Die Eigenkapitalkosten in dem Gleichgewichtsmodell von Modigliani und Miller sind eine lineare Funktion des Verschuldungsgrades und berücksichtigen Risiko.

Im Grunde wird damit auch Steuerneutralität von Eigen-und Fremdkapital sowie fehlendes Insolvenzrisiko unterstellt.

Es gibt übrigens mit der klassischen These ein Konkurrenzmodell. In dieser hat der Verschuldungsgrad Auswirkung auf die Gesamtkapitalkosten und diese sind nicht linear.

Die Prämissen sind unter anderem:

• homogene Erwartungen
• ein unendlicher Zeithorizont
• vollständiger Kapitalmarkt
• Steuerneutralität
• kein Insolvenzrisiko
• Risikoneutralität

Es zeigt sich, dass diese Prämissen in der Realität nicht erfüllt sind. Es handelt sich um ein vereinfachtes Erklärungsmodell.

Capital-Asset-Pricing-Modell

Das Capital-Asset-Pricing-Modell basiert auf der Portfoliotheorie von Markowitz (1952) und dem Gleichgewichtsmodell von Modigliani und Miller (1958). Es kann drei Autoren zugeschrieben werden (Sharpe, 1964; Lintner, 1965; Mossin, 1966).

Im Modell von Markowitz (1952) haben Anleger verschiedene risikobehaftete Anlagemöglichkeiten und kombinieren diese geschickt, sodass der erwartete Rückfluss (Erwartungswert) bei minimalem Risiko verwirklicht wird. In dem Modell von Markowitz spricht man von einem effizienten Rand, welcher die optimale Kombinationsmöglichkeiten von erwarteten Rückflüssen und Risiken angibt.

Das Modell kann um einen risikolosen Zins zur Geldanlage bzw. Kreditaufnahme erweitert werden. Man hat dann ein sogenanntes Tangentialportfolio. Zusammengefasst wird versucht einen Erwartungswert (Geldrückfluss) bei möglichst geringem Risiko (Varianz) zu erreichen, indem Anlagen geschickt kombiniert werden.

Das Modell CAPM geht nun davon aus, dass alle Anleger gleiche Erwartungen über die Rückflüsse auf dem Kapitalmarkt haben. Anleger können entsprechend Geld in Anlagen investieren und Geld auf dem Finanzmarkt anlegen oder aufnehmen. Durch eine "unsichtbare Hand" werden die Kurswerte und damit die Unternehmenswerte für das Marktgleichgewicht festgelegt. Es ergibt sich ein sogenanntes Marktportfolio mit einer Kapitalmarktlinie.

Der Erwartungswert wird von einem Price of Time (risikoloser Zins) und Price of Risik (Risikozuschlag) bestimmt. Für die mathematische Herleitung sei auf die genannten Quellen verwiesen. Diese dürften einigen Lesern bekannt sein. Das systematische Risiko kann als Marktrisikoprämie * Betafaktor ausgedrückt werden.

Die Formel für die Kapitalmarktlinie in dem Modell CAPM lautet:

Erwartungswert = risikofreier Zins + (Erwartungswert Marktportfolio - risikofeier Zins)/ Standardabweichung Marktportfolio * Standardabweichung

Für den einzelnen Anleger ist der Erwartungswert abhängig von dem übernommenen Portfoliorisiko (Standardabweichung). Mehr Informationen dazu finden Sie in der zitierten Literatur.

Die Formel für die Wertpapierlinie in dem Modell CAPM lautet:

Erwartungswert der Anlage = risikofeier Zins + (Erwartungswert Marktportfolio- risikofeier Zins)/Standardabweichung Marktportfolio^2 * Kovarianz des Anlage im Verhältnis zum Marktportfolio

Die Formel der Wertpapierlinie im Modell CAPM wird jedoch häufig folgendermaßen dargestellt:

Erwartungswert der Anlage = risikofreier Zins + (Marktrisiko-risikofreier Zins) * Betafaktor

Der Betafaktor steht für die Kovarianz des Anlage im Verhältnis zum Marktportfolio / Standardabweichung Marktportfolio^2.

Die Prämissen des Modells sind unter anderem:

• homogene Erwartungen
• eine einzelne Periode
• ein vollkommener Kapitalmarkt
• keine Steuern
• keine Transaktionskosten
• keine Zeitverzögerung
• Risikoaversion (Risikoscheu)

Bei der Betrachtung der Prämissen wird auch deutlich, dass es sich um ein vereinfachtes Erklärungsmodell handelt und nicht die Realität widerspiegelt. Einige Prämissen werden zwar durch Modellerweiterung, wie z.B. die von Brennan (1970) für die Steuerintegration, aufgehoben, aber die Grundkritik bleibt bestehen.

Die Risikomessung anhand der Varianz bewirkt auch, dass positive erwünschte Abweichungen zu einer stärkeren Abzinsung führen, was von der theoretischen Seite aus nicht sinnvoll erscheint.

Es sei darauf hingewiesen, dass das Gleichgewichtsmodell von Modigliani-Miller und CAPM eigentlich von der Risikoneigung und dem Zeithorizont nicht kombinierbar sind (Hering, 2021).

Hier sei die Formel für den Abzinsungsfaktor dargestellt. ρ steht für den Abzinsungsfaktor, t für das jeweilige Jahr, τ ist eine Laufvariable für die Zeit, i für den Zins und r für das Risiko. Wird das Risiko im Zahlungsstrom durch einen Abschlag berücksichtigt, so darf kein Risikoaufschlag auf den Zins erfolgen.

Die Abzinsung des Geldflusses eines Unternehmens mit ewiger Lebensdauer wird durch folgende Formel dargestellt. Der erste Teil zeigt die Abzinsung im Planungszeitraum auf, und der zweite Teil steht für die Rente am Planungshorizont. C steht für den Kapitalwert, t für das jeweilige Jahr, T für die den Planungszeitraum, e für den Geldfluss, ω für die Wachstumsrate.

Wird von einer begrenzten Lebensdauer anstelle einer ewigen Lebensdauer ausgegangen, wird am Planungshorizont wird ein Barwert angesetzt. n steht für die Jahre.

Der Weighted Average Cost of Capital (WACC)-Ansatz ist eine Variante des DCF-Verfahrens und basiert auf dem Modell CAPM (Sharpe, 1964; Lintner, 1965; Mossin, 1966).

WACC-Ansatz (Steady State)

Neben den Ausgangsdaten werden die Eigenkapitalkosten aus dem APV-Ansatz von 11% übernommen. Es kann problemfrei eine Äquivalenz zum APV-Ansatz hergestellt werden. Die Formel für WACC lautet im Steady State:

WACC = Eigenkapitalkosten * Wert des Eigenkapitals/ Wert des Gesamtkapitals +

Fremdkapitalkosten * Wert des Fremdkapitals / Wert des Gesamtkapitals +

Fremdkapitalkosten * Wert des Steuerschildes / Wert des Gesamtkapitals.

WACC = 0.11*70000/90000 + 0.05*20000/90000 + 0.05*6000/90000 = 9.33%

Oftmals werden die letzten beiden Terme zusammengefasst. Dies ist jedoch nur unter sehr vereinfachten Annahmen hinsichtlich des Steuerrechts möglich.

WACC = 0.11*70000/90000+(1-0.3)*0.05*20000/90000 = 9.33%

Wird der eigenkapitalfinanzierte Nettogeldfluss von 8400 GE mit WACC abgezinst, ergibt sich 8400/0.0933 = 90000 GE.

Von dem Gesamtunternehmenswert von 90000 GE müssen wieder die Schulden von 20000 GE abgezogen werden, sodass das Eigenkapital 70000 GE wert ist.

In der Praxis wird WACC nicht als Umformung des APV-Ansatzes angesehen, sondern die Eigenkapitalkosten werden aus dem Modell CAPM abgeleitet.

WACC-Ansatz mit detailliertem Planungs­zeitraum

Wird versucht im Fall mit einer detaillierten Planungsperiode und einer ewigen Rente mit Wachstumsrate eine Äquivalenz zum APV-Ansatz herzustellen, so  können die Ergebnisse mit der obigen Formel unbefriedigend sein. Ein Weg für eine Äquivalenz zwischen APV-Ansatz und WACC ist zwischen dem Barwert des Steuerschilds und dem Wert dessen unterschieden werden. Der Barwert wird mit dem Fremdkapitalzins ermittelt. Der Wert wird zuerst mit dem Fremdkapitalzins (bestehende Schulden) und anschließend mithilfe der Eigenkapitalkosten (neue Schulden) abgezinst. Für eine Herleitung und Überführung sei auf Massari et al. (2008) verwiesen.

Der Fakt, dass die Abzinsung des Steuerschildes für bisherige Schulden mithilfe des Fremdkapitalkostensatzes geschieht und die der neuen Schulden mithilfe der Eigenkapitalkosten, ist für mich jedoch wenig überzeugend, insbesondere im Hinblick auf die theoretische Ausgangsbasis des Gleichgewichtsmodelles von Modigliani und Miller (1958).

Für eine Äquivalenz zwischen APV-Ansatz und WACC-Ansatz muss die Wachstumsrate des Steuerschildes berücksichtigt werden. WACC steht für den WACC Zins, i für die Eigenkapitalkosten (verschuldet), i_f für die Fremdkapitalkosten ω_S für die Wachstumsrate des Steuerschildes und t ist eine Laufvariable für die Zeit.

In der Praxis werden die Eigenkapitalkosten für WACC nicht als Umformulierung des APV-Ansatzes berechnet, sondern aus dem Modell CAPM abgeleitet.

WACC-Ansatz Rechner

Hier haben Sie die Möglichkeit einen Rechner für den WACC-Ansatz zu nutzen. Geben Sie dazu die Eigenkapitalkosten, die Fremdkapitalkosten, den eigenkapitalfinanzierten Nettogeldfluss, den Barwert der Schulden, den Wert des Eigenkapitals, den Unternehmenswert und den Barwert des Steuerschildes ein.  Sie können die Werte als Zahlenreihe (Vektoren) eingeben. Weiter können Sie eine Wachstumsrate am Planungshorizont eintragen. Das letzte Eingabefeld ist optional. Bleibt das Feld leer wird am Planungshorizont eine ewige Rente berechnet. Gegeben Sie einen eine Zahl ein, wird ein Barwert mit den gegebenen Jahren berücksichtigt.

Im folgenden soll das subjektive Ertragswertverfahren dem DCF-Verfahren  (APV) gegenübergestellt werden und für beide wird ein Beispiel gegeben.

Es sind die Daten aus dem Ausgangsszenario. Es wird eine Inflation und damit ein Wachstum des Nettogeldflusses um 2% vorausgesetzt, was am Planungshorizont in einer ewigen Wachstumsrate resultiert. Der Zins liegt bei 5% und muss aber im Privatvermögen mit 25% versteuert werden, sodass der Nettozins bei 3,75% liegt. Steuern auf den Gewinn des Unternehmensverkauf fallen keine an.

Der Verkäufer sieht die Erwartungen über die Unternehmensentwicklung subjektiv als sicher an. Weiter ist er risikoscheu und will den Erlös aus dem Unternehmensverkauf bei der Bank anlegen.

Exkurs: Risiko kann allgemein entweder über den Abzinsungsfaktor (Risikozuschlagsmethode), oder über eine Korrektur im Geldfluss (Sicherheitsäquivalentmethode) berücksichtigt werden. Beides lässt sich mathematisch ineinander überleiten (Terstege, 2023). Sinnvoll erscheint mir die Erfassung als Korrektur im Geldfluss mithilfe verschiedener Szenarien. Das vereinfacht eine korrekte steuerliche Gewinnermittlung, da diese auf Erfolgsgrößen aufbaut, oft nicht linear ist und auch Freibeträge beinhaltet. Zudem muss man sich über das Risiko explizit Gedanken machen, anstatt es indirekt zu erfassen. Im obigen Beispiel sieht der Verkäufer jedoch seine Prognosen als subjektiv sicher an.

Gemäß dem Ertragswertverfahren ergibt sich ein Unternehmenswert von 7700/(0.0375-0.02) = 440000 GE. Um den gleichen Nettogeldfluss wie durch die Unternehmensanteile zu bekommen, muss der Verkäufer einen Betrag von 440000 GE bei der Bank anlegen.

Falls der Zins oder der Geldfluss innerhalb des Planungszeitraums schwankt, muss die kompliziertere Formel mit periodenindividueller Abzinsung angewendet werden.  Beispielhaft sei sie hier auf den Fall der ewigen Rente mit Wachstumsrate angewendet:

Jahr 1: 7700 * (1+0.0375)^-1 = 7421.69 GE

Jahr 2: 7854 * (1+0.0375)^-1 * (1+0.0375)^-1 = 7296.50 GE

Jahr 3: 8011.08/(0.0375-0.02) * (1+0.0375)^-1 * (1+0.0375)^-1 = 425281.812 GE

Die Summe ergibt genauso 440000 GE.

Ertragswertverfahren als Ausgangsbasis

Die Berechnungen zeigen, dass er jedes Jahr den gleichen Geldfluss wie durch sein Unternehmen erhält. Da der Geldfluss ewig wächst, erhöht sich in jeder Periode auch das angelegte Vermögen.

Es wird nun der Unternehmenswert mithilfe des Equity-Ansatzes, welcher mit dem APV-Ansatz von oben äquivalent ist, berechnet. Die Daten sind aus dem obigen Beispiel des APV-Ansatzes und des Equity-Ansatzes mit ewiger Wachstumsrate von 2% im Steady State entnommen.

(8700-1000)/(0.1142857142857143-0.02) = 81666.67 GE.

Falls der Zins oder der Geldfluss innerhalb des Planungszeitraums schwankt, muss auch hier die kompliziertere Formel mit periodenindividueller Abzinsungen angewendet werden.  Beispielhaft sei sie hier auf den Fall der ewigen Rente mit Wachstumsrate angewendet:

Jahr 1: (8700-1000)* (1+0.1142857142857143)^-1 = 6910.26 GE

Jahr 2: (8874-1020)* (1+0.1142857142857143)^-1 * (1+0.1142857142857143)^-1 = 6325.54 GE

Jahr 3: (9051.48-1040.4)/(0.1142857142857143-0.02) * (1+0.1142857142857143)^-1 * (1+0.1142857142857143)^-1 = 68430.87 GE

Die Summe ergibt genauso 81666.67 GE.

Der Verkäufer hat sein Unternehmen zu diesem Betrag verkauft, da er sich auf einen externen Berater verlassen hat. Er legt sein Geld jedoch nicht am Kapitalmarkt, sondern bei der Hausbank zu 5% brutto an, da er risikoscheu ist. Er versucht den gleichen Geldfluss wie durch das Unternehmen zu erhalten. Das ist ihm jedoch nicht möglich und sein Vermögen sinkt Jahr für Jahr. Das Problem ist, dass nicht mit den endogenen Grenzzinsfüßen des Betroffenen kalkuliert wurde. Es wurde ein Wert für einen fiktiven Anleger auf den Kapitalmärkten ermittelt. Der externe Berater hat einfach auf die ihm bekannten Lehrbuchformeln zurückgegriffen, ohne auf die individuelle Situation seines Klienten Rücksicht zu nehmen.

DCF-Verfahren

Das DCF-Verfahren baut auf kapitalmarkttheoretischen Erklärungsmodellen auf, welche nicht den realen Gegebenheiten entsprechen. In dem obigen Beispiel war die Alternativanlage der Bank der Grenzzins (endogene Grenzzinsfuß) und nicht ein Zinssatz, welcher aus dem Modell CAPM abgeitet wurde. Das Extrembeispiel zeigt, dass der Entscheidungswert des Betroffenen nur zufällig mit dem Unternehmenswert, welches nach einem DCF-Verfahren ermittelt wird, übereinstimmt.

Die Abweichungen des Unternehmenswert gemäß der DCF-Methode können im Vergleich zur Ertragswertmethode bzw. funktionalen Unternehmensbewertung sowohl nach oben, als auch nach unten erfolgen.

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Terstege, U, Bitz, M. & Ewert, J (2023). Investitionsrechnung klipp & klar. Springer Gabler.